Преобразование Ханкеля
В математике преобразование Ханкеля порядка [math]\displaystyle{ \nu }[/math] функции [math]\displaystyle{ f(r) }[/math] задаётся формулой
- [math]\displaystyle{ F_\nu(k) = \int\limits_0^\infty f(r) J_\nu(kr) r\,dr, }[/math]
где [math]\displaystyle{ J_\nu }[/math] — функция Бесселя первого рода порядка [math]\displaystyle{ \nu, }[/math] и [math]\displaystyle{ \nu \geqslant -1/2 }[/math]. Обратным преобразованием Ханкеля функции [math]\displaystyle{ F_\nu(k) }[/math] называют выражение
- [math]\displaystyle{ f(r) = \int\limits_0^\infty F_\nu(k) J_\nu(kr) k\,dk, }[/math]
которое можно проверить с помощью ортогональности, описанной ниже.
Преобразование Ханкеля является интегральным преобразованием. Оно было изобретено Германом Ханкелем и известно также под именем преобразование Бесселя — Фурье.
Область определения
Преобразование Ханкеля функции [math]\displaystyle{ f(r) }[/math] верно для любых точек на интервале [math]\displaystyle{ (0, \infty) }[/math], в которых функция [math]\displaystyle{ f(r) }[/math] непрерывна или кусочно-непрерывна с конечными скачками, и интеграл
- [math]\displaystyle{ \int\limits_0^\infty |f(r)|\,r^{1/2}\,dr }[/math]
конечен.
Возможно также расширить это определение (подобно тому, как это делается для преобразования Фурье), включив в него некоторые функции, интеграл которых бесконечен (например, [math]\displaystyle{ f(r) = r }[/math]).
Ортогональность
Функции Бесселя формируют ортогональный базис с весом [math]\displaystyle{ r }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_0^\infty J_\nu(kr) J_\nu(k'r) r\,dr = \frac{\delta(k - k')}{k} }[/math]
для [math]\displaystyle{ k, k' \gt 0 }[/math].
Преобразование Ханкеля некоторых функций
| [math]\displaystyle{ f(r) }[/math] | [math]\displaystyle{ F_0(k) }[/math] |
|---|---|
| [math]\displaystyle{ 1 }[/math] | [math]\displaystyle{ \delta(k)/k }[/math] |
| [math]\displaystyle{ r }[/math] | [math]\displaystyle{ -1/k^3 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ r^3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 9/k^5 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ r^{m} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{2^{m+1}\Gamma(m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma(-m/2)} }[/math] для нечётных m, [math]\displaystyle{ 0 }[/math] для чётных m. |
| [math]\displaystyle{ e^{iar} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{-ia\sqrt{k^2-a^2}}{(k^2-a^2)^2} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ e^{a^2r^2/2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{-e^{k^2 / 2a^2}}{a^2} }[/math] |
См. также
Ссылки
- Gaskill, Jack D., «Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics», John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5.
- Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.
